Prawa Kirchhoffa pozwalają obliczać prądy i napięcia w obwodach, których nie da się wygodnie uprościć do jednego połączenia szeregowego lub równoległego. Pierwsze opisuje bilans prądów w węźle, drugie bilans napięć w zamkniętej drodze. Trudność szkolnych zadań zwykle nie polega na zapamiętaniu tych zdań, lecz na ustaleniu, które punkty są połączone, jakie kierunki przyjęto i co oznacza znak otrzymanego wyniku. Spójny zapis jest ważniejszy niż trafne odgadnięcie kierunku każdego prądu przed rozpoczęciem obliczeń.
W tym poradniku analizujemy teoretyczne obwody prądu stałego w stanie ustalonym, z idealnymi przewodami, opornikami i opisanymi źródłami napięcia. Przykłady służą pracy na papierze. Nie są instrukcją łączenia baterii, ładowania ogniw, pomiarów w gniazdku ani wykonywania instalacji. Rzeczywiste urządzenia mają dodatkowe ograniczenia i zabezpieczenia, których prosty model nie obejmuje. Najpierw uporządkujemy pojęcia, potem rozwiążemy jeden obwód dwiema metodami i sprawdzimy jego bilans mocy. Kolejne przykłady pokażą, jak rozpoznawać pozorne sprzeczności, zerowy prąd i błędy w równaniach.
Węzeł rozpoznaje się po połączeniu, a nie kształcie rysunku
W analizie obwodów węzeł to zbiór punktów połączonych idealnymi przewodami bez elementu powodującego różnicę potencjałów między nimi. Na schemacie może być rozciągnięty na znaczną część kartki. Zagięcie przewodu nie tworzy nowego węzła, a bliskość dwóch kresek nie oznacza automatycznie połączenia. Trzeba odczytać oznaczenia połączeń przy skrzyżowaniach. W zadaniach często wyróżnia się węzły rozgałęzienia, w których spotykają się co najmniej trzy gałęzie. Warto ustalić przyjęty język, bo nie każdy podręcznik używa wszystkich nazw w identycznie zawężonym znaczeniu.
Najlepszym początkiem bywa oznaczenie jedną literą całego ciągłego przewodu. Wszystkie punkty należące do A mają w idealnym modelu ten sam potencjał. Jeśli po prawej stronie schematu znajduje się kolejny odcinek połączony z A bez elementu pomiędzy, nadal należy do A. Dopiero opornik, źródło lub inny element oddziela dwa różne węzły. Takie porządkowanie zapobiega dopisywaniu napięcia na fragmencie idealnego przewodu. Nie trzeba analizować odległości i kątów narysowanych linii, gdy celem jest odczytanie połączeń elektrycznych.
Dwa schematy mogą przedstawiać ten sam obwód mimo całkiem innego wyglądu. Można przesunąć opornik na kartce, wydłużyć przewód i zmienić kształt pętli, zachowując połączenia jego zacisków z tymi samymi węzłami. W zadaniu warto przerysować układ czytelniej, ale bez zmiany topologii. Każdą końcówkę elementu trzeba połączyć z odpowiednią literą. Jeżeli przerysowanie sprawiło, że element wcześniej należący do osobnej gałęzi stał się częścią wspólnej drogi bez rozgałęzienia, powstał inny obwód, a nie prostszy zapis tego samego problemu.
Gałąź i oczko pomagają zaplanować niewiadome
Na potrzeby naszych przykładów gałęzią nazwiemy drogę między dwoma węzłami rozgałęzienia, bez kolejnego rozgałęzienia po drodze. Może zawierać jeden opornik albo kilka elementów połączonych szeregowo. W stanie ustalonym przez wszystkie elementy takiej gałęzi płynie ten sam prąd. Nie trzeba przydzielać osobnej niewiadomej każdemu opornikowi znajdującemu się na tej samej drodze. Jeśli po drodze pojawia się dodatkowe połączenie odprowadzające prąd, warunek się zmienia i nie można już traktować całego fragmentu jako jednej gałęzi o wspólnym natężeniu.
Pętla jest zamkniętą drogą, po której wracamy do punktu wyjścia. Oczko w typowym płaskim rysunku to taka pętla, która nie obejmuje w środku mniejszych pętli danego schematu. W szkolnych poleceniach nazwy bywają używane mniej ściśle, ale drugie prawo Kirchhoffa można zapisać dla dowolnej odpowiednio wybranej zamkniętej drogi. Nie trzeba za każdym razem obchodzić całego zewnętrznego obrysu. Warto wybierać pętle, których równania przynoszą nową informację, zamiast trzy razy opisywać ten sam związek pod inną postacią algebraiczną.
Do każdej gałęzi dopiszcie symbol i strzałkę prądu. Strzałka jest przyjętym zwrotem dodatnim, nie wynikiem pomiaru. Można wybrać wszystkie strzałki od A do B, nawet gdy część rzeczywistych prądów popłynie odwrotnie. Nie wolno jedynie po cichu zmieniać zwrotu w połowie obliczeń. Gdy zmieniamy definicję symbolu, musimy zmienić wszystkie dotyczące go równania. Jedna konsekwentna, choć początkowo nietrafiona strzałka prowadzi do poprawnej odpowiedzi. Kilka intuicyjnych poprawek wykonanych bez aktualizacji zapisu zwykle powoduje sprzeczności trudniejsze do rozpoznania niż zwykły błąd rachunkowy.
Pierwsze prawo Kirchhoffa wynika z zachowania ładunku
W rozpatrywanym stanie ustalonym suma prądów wpływających do węzła jest równa sumie prądów wypływających. W samym węźle nie narasta nieograniczony zapas ładunku. Jeżeli wpływają dwa prądy o natężeniach dwóch i trzech amperów, a wypływa jedna gałąź, musi odprowadzać pięć amperów. Nie oznacza to, że pięć amperów jest porcją substancji magazynowaną w przewodzie. Natężenie określa tempo przepływu ładunku, a bilans porównuje te tempa w tym samym miejscu i w rozpatrywanym momencie ustalonej pracy obwodu.
Można przyjąć wpływające prądy jako dodatnie, wypływające jako ujemne i zapisać ich sumę równą zeru. Można też odwrócić całą konwencję. Ważne, by nie mieszać obu naraz. Dla trzech strzałek skierowanych z A do B wszystkie opuszczają A, więc równanie można zapisać I1 + I2 + I3 = 0. Nie jest ono niemożliwe tylko dlatego, że wszystkie symbole stoją z plusem. Otrzymane wartości algebraiczne nie muszą być dodatnie. Co najmniej jedna może oznaczać rzeczywisty przepływ w stronę przeciwną do przyjętej strzałki.
Przy zjawiskach zmiennych w czasie trzeba dokładniej opisać, gdzie może gromadzić się ładunek i jakie elementy zawiera model. Nasze proste zadania nie wymagają takiego rozszerzenia, ale ograniczenie warto znać. Zdanie o równości wpływu i wypływu dotyczy przyjętego modelu węzła, a nie zakazuje ładowania kondensatora. W obwodzie z kondensatorem ładunek odkłada się na jego okładkach, a odpowiednie równania uwzględniają ten element. Nie należy wyciągać z prawa dla węzła wniosku, że nigdzie w całym urządzeniu nie może występować magazynowanie ładunku.
Drugie prawo Kirchhoffa porządkuje zmiany potencjału
W naszym modelu suma zmian potencjału podczas pełnego obiegu zamkniętej drogi wynosi zero. Wracamy do tego samego punktu, więc jego potencjał nie może jednocześnie mieć dwóch różnych wartości. Po drodze można przejść przez wzrost na źródle i spadki na opornikach. Napięcia nie są zużywanymi przedmiotami, które znikają w ostatnim elemencie. Opisują różnice potencjałów, czyli zmiany energii przypadającej na jednostkę ładunku. Bilans obwodu jest zgodny z zachowaniem energii, lecz wymaga uwzględnienia wszystkich źródeł i elementów spotkanych na wybranej drodze.
Wybieramy kierunek obchodzenia pętli niezależnie od strzałek prądów. Można iść zgodnie z ruchem wskazówek zegara albo przeciwnie. Przy każdym elemencie zapisujemy zmianę potencjału odpowiadającą temu przejściu. Odwrócenie całego obiegu powinno pomnożyć wszystkie składniki równania przez minus jeden. Jeśli po zmianie kierunku odwracają się tylko niektóre znaki, pojawiła się niespójność. Sam wybór kierunku nie wpływa na fizyczny wynik. Wpływa jedynie na postać równania, które po prawidłowym przekształceniu opisuje tę samą relację między napięciami.
Regułę stosujemy tu do obwodów prądu stałego bez dodatkowego zmiennego strumienia magnetycznego obejmowanego pętlą. W bardziej ogólnych sytuacjach trzeba uwzględniać indukowaną siłę elektromotoryczną i warunki modelu. Nie wystarczy mechanicznie ogłosić sumy samych spadków na opornikach równą zeru, pomijając istotne zjawisko. Ten poradnik nie analizuje transformatorów ani obwodów wysokiej częstotliwości. W szkolnym zadaniu najpierw odczytuje się założenia. Dobra znajomość ograniczeń prostego modelu pomaga używać go poprawnie, zamiast przedstawiać krótkie równanie jako pełny opis każdego możliwego urządzenia elektrycznego.
Znaki na oporniku wynikają z kierunku przejścia
Dla dodatniego oporu R i przyjętego prądu I zmiana potencjału przy przejściu przez opornik zgodnie ze strzałką wynosi −IR. Idąc przeciwnie do strzałki, zapisujemy +IR. Dotyczy to algebraicznej wartości prądu w danej definicji. Nie trzeba osobno zgadywać znaku spadku po poznaniu wyniku. Jeżeli I okaże się ujemne, iloczyn sam odpowiednio zmieni wartość. Dwa minusy mogą dać dodatnią zmianę potencjału i nie jest to błąd. Oznacza przejście przeciwnie do rzeczywistego przepływu prądu przez opornik w przyjętym modelu.
Warto przećwiczyć przykład z opornikiem o oporze czterech omów i strzałką od C do D. Gdy I = 2 A, potencjał przy D jest o osiem woltów niższy niż przy C. Przejście C do D daje zmianę −8 V, a D do C daje +8 V. Jeśli z innego zadania wyjdzie I = −2 A dla tej samej strzałki, rzeczywisty przepływ jest od D do C. Teraz przejście C do D oznacza wzrost potencjału o osiem woltów. Definicja symbolu nie została zmieniona, zmienił się znak jego wartości.
Nie należy mieszać napięcia UCD = VC − VD ze zmianą potencjału podczas przejścia C do D, równą VD − VC. Są to wielkości o przeciwnych znakach. Część szkolnych pomyłek wynika właśnie z niejawnej zmiany definicji napięcia. Na początku zapiszcie, jak rozumiecie indeksy. W naszym głównym przykładzie U oznacza VA − VB, więc dla samego opornika z prądem od A do B mamy U = RI. Jednocześnie zmiana potencjału podczas przejścia A do B wynosi −U. Oba zapisy są zgodne i nie konkurują ze sobą.
Znaki na źródle odczytuje się z biegunowości
Idealne źródło napięcia o wartości E podnosi potencjał przy przejściu od zacisku ujemnego do dodatniego o E. W przeciwną stronę zmiana wynosi −E. Nie decyduje o tym kierunek aktualnego prądu. To ważne w obwodach zawierających kilka źródeł, gdzie jedno z nich może odbierać energię z pozostałej części układu. Znak źródła w równaniu pętli wynika z kierunku przejścia i narysowanych biegunów. Nie zmieniamy biegunowości dlatego, że wynik prądu okazał się ujemny lub inny, niż przewidywaliśmy przed obliczeniem.
Siła elektromotoryczna jest historyczną nazwą wielkości mierzonej w woltach, nie siłą mierzoną w niutonach. W idealnym źródle opisuje ustalone napięcie między zaciskami. Rzeczywiste ogniwo można w prostym modelu uzupełnić oporem wewnętrznym, ale wtedy trzeba włączyć go do bilansu gałęzi. Podczas oddawania energii napięcie na zaciskach nie musi być równe wartości E. Nie należy jednocześnie traktować źródła jako idealnego i dopisywać przypadkowego spadku, którego nie opisano w treści zadania lub na schemacie przyjętego modelu.
Przykłady z dwoma źródłami nie są zaleceniem fizycznego połączenia baterii. Model matematyczny nie opisuje warunków bezpiecznego ładowania, chemii ogniwa ani ograniczeń prądowych. Szczególnie nie wolno z dodatniej mocy odbieranej przez symbol źródła wywnioskować, że dowolną baterię można w ten sposób ładować. W zadaniu badamy bilans energii idealnego elementu. Rzeczywiste urządzenie wymaga właściwej konstrukcji i zabezpieczeń. Pozostanie przy schemacie na papierze pozwala zrozumieć znaki bez ryzyka wynikającego z pomylenia abstrakcyjnego modelu z instrukcją wykonywania domowego eksperymentu.
Trzy gałęzie i dwa źródła tworzą pełny przykład
Wyobraźmy sobie dwa węzły, A u góry i B u dołu, połączone trzema osobnymi gałęziami. W pierwszej znajdują się szeregowo opornik R1 = 2 Ω i idealne źródło E1 = 12 V. Dodatni biegun źródła jest po stronie A. Druga gałąź zawiera R2 = 3 Ω oraz E2 = 6 V, również z dodatnim biegunem po stronie A. Trzecia ma wyłącznie opornik R3 = 6 Ω. Kolejność źródła i opornika w obrębie nierozgałęzionej gałęzi nie zmienia rozpatrywanych relacji między A i B.
Przyjmijmy wszystkie trzy strzałki I1, I2 i I3 od A do B. Definiujemy też U = VA − VB. Pierwsze prawo Kirchhoffa daje I1 + I2 + I3 = 0. Dla pierwszej gałęzi różnica potencjałów między A i B jest sumą E1 i spadku R1I1, więc U = 12 V + 2 Ω × I1. Analogicznie druga daje U = 6 V + 3 Ω × I2. Trzecia ma U = 6 Ω × I3. Wszystkie trzy gałęzie łączą te same węzły, więc mają tę samą różnicę potencjałów U.
To nie są trzy samodzielne obwody z niezależnymi napięciami dobranymi według wygody. Wspólne węzły narzucają zgodność. Można porównać pierwszą i trzecią gałąź, a następnie drugą i trzecią, otrzymując dwa równania pętli. Otrzymamy 2I1 − 6I3 = −12 oraz 3I2 − 6I3 = −6, gdy wartości prądów zapisujemy w amperach, oporów w omach, a napięć w woltach. W obliczeniach należy pamiętać o jednostkach, nawet jeśli chwilowo skracamy zapis równań do samych liczb i symboli dla wygody rozwiązania układu.
Układ równań rozwiązuje się bez poprawiania strzałek
Z pierwszego równania napięciowego wynika I1 = 3I3 − 6, a z drugiego I2 = 2I3 − 2, w przyjętym zapisie liczbowym jednostek. Podstawiamy obie zależności do równania węzła. Dostajemy 3I3 − 6 + 2I3 − 2 + I3 = 0, czyli 6I3 = 8. Stąd I3 = 4/3 A. Dalej I2 = 2/3 A, a I1 = −2 A. Warto zachować ułamki do końca. Zaokrąglanie każdego składnika do dwóch miejsc może utrudnić dokładne sprawdzenie bilansu mimo poprawnego rozumowania.
Ujemny wynik I1 nie oznacza ujemnej liczby elektronów ani niesprawnego źródła. Oznacza rzeczywisty prąd o natężeniu dwóch amperów płynący w pierwszej gałęzi od B do A, przeciwnie do przyjętej strzałki. W drugiej i trzeciej gałęzi prądy płyną od A do B. Można dopisać końcową strzałkę rzeczywistego przepływu innym stylem, ale nie należy nią zastępować definicji I1 w już zapisanych równaniach. Wynik algebraiczny i słowny opis muszą odnosić się do tej samej, jasno podanej konwencji kierunków.
Sprawdźmy napięcia bez zmiany znaków. Pierwsza gałąź daje U = 12 + 2 × (−2) = 8 V. Druga daje U = 6 + 3 × (2/3) = 8 V. Trzecia daje U = 6 × (4/3) = 8 V. Równanie węzła również działa: −2 + 2/3 + 4/3 = 0. Otrzymaliśmy jeden spójny potencjał względny i zgodny podział prądów. To mocniejsza kontrola niż samo stwierdzenie, że wynik wygląda rozsądnie, bo większość liczb jest niewielka i dodatnia w końcowym opisie.
Metoda potencjałów węzłowych skraca ten sam problem
Przyjmijmy potencjał B równy zeru. Wówczas potencjał A jest równy U. To wybór odniesienia, nie założenie, że punkt B musi być fizycznie uziemiony. Z równań gałęzi otrzymujemy I1 = (U − 12)/2, I2 = (U − 6)/3 i I3 = U/6, przy napięciach w woltach i oporach w omach. Podstawienie do bilansu węzła daje (U − 12)/2 + (U − 6)/3 + U/6 = 0. Jedna niewiadoma wystarcza, ponieważ cały układ ma tylko dwa istotne węzły i znane związki prądowo-napięciowe gałęzi.
Mnożąc równanie przez sześć, dostajemy 3(U − 12) + 2(U − 6) + U = 0. Po uporządkowaniu 6U = 48, więc U = 8 V. Następnie z poszczególnych gałęzi ponownie otrzymujemy −2 A, 2/3 A i 4/3 A. Metoda nie wprowadza nowego prawa fizycznego. Wykorzystuje te same bilanse i prawo Ohma, tylko eliminuje część niewiadomych wcześniej. Warto porównać obie drogi na jednym przykładzie, aby zobaczyć, że różna organizacja rachunku nie oznacza odmiennej interpretacji tego samego schematu.
Nie każdy układ daje równie proste równanie węzłowe. Idealne źródło między dwoma nieznanymi węzłami wymaga dodatkowej relacji i czasem wygodnego pojęcia superwęzła. Nie trzeba wprowadzać tego na początku nauki. Ważne jest rozpoznanie, że napięcia węzłowe są kolejnym uporządkowanym sposobem definiowania niewiadomych. W małym zadaniu wybieramy metodę, która daje najmniej skomplikowany zapis, a nie tę, która ma najbardziej zaawansowaną nazwę. Przy trudniejszym schemacie najpierw upewniamy się, że rozumiemy połączenia, zanim szukamy skrótu algebraicznego lub uruchamiamy solver równań.
Bilans mocy ujawnia błędy niewidoczne w samych prądach
Moc wydzielana w dodatnim oporze wynosi I²R i nie staje się ujemna po odwróceniu prądu. W głównym przykładzie pierwszy opornik pobiera 8 W, drugi 4/3 W, a trzeci 32/3 W. Łącznie daje to 20 W. Do tego trzeba dodać bilans źródeł. Przy konwencji odbiornikowej moc elementu jest dodatnia, gdy prąd wpływa do jego dodatniego zacisku. Wtedy dodatnia wartość oznacza odbieranie energii elektrycznej, a ujemna jej oddawanie do reszty układu w danym stanie modelu.
Źródło dwunastowoltowe ma I1 = −2 A względem kierunku od A do B, czyli prąd wpływa do jego zacisku ujemnego. Moc odbierana wynosi −24 W, a więc źródło oddaje 24 W. W drugim źródle prąd 2/3 A wpływa do zacisku dodatniego, dlatego odbierana moc wynosi 4 W. Rachunek całego układu to −24 + 4 + 20 = 0 W. Jedno źródło zasila zarówno oporniki, jak i drugi idealny element. To poprawny bilans matematyczny, nie zalecenie dotyczące ładowania konkretnej baterii.
Gdy suma nie jest bliska zeru po uwzględnieniu zaokrągleń, warto sprawdzić znaki i pominięte elementy. Nie należy od razu zmieniać oporu, by dopasować wynik. W bilansie trzeba uwzględnić także opór wewnętrzny, jeśli należał do modelu. Również poprawna suma mocy nie daje absolutnej gwarancji bezbłędnego odczytania schematu: można konsekwentnie rozwiązać inny, źle przerysowany układ. Dlatego kontrola powinna obejmować topologię, równania węzłowe, napięcia i energię. Różne sprawdzenia wykrywają różne klasy pomyłek i wzajemnie się uzupełniają podczas oceny otrzymanej odpowiedzi.
Odwrócenie jednego źródła zmienia całe rozwiązanie
Pozostawmy opory i źródło dwunastowoltowe, lecz odwróćmy biegunowość źródła sześciowoltowego. W drugiej gałęzi dodatni biegun jest teraz po stronie B. Przy niezmienionych strzałkach od A do B równanie wynosi U = −6 + 3I2, czyli I2 = (U + 6)/3. Znak zmienia się z powodu biegunowości, a nie dlatego, że przewidujemy większy prąd. Pierwsza i trzecia gałąź zachowują poprzednie wzory. W bilansie węzła podstawiamy więc (U − 12)/2 + (U + 6)/3 + U/6 = 0.
Po pomnożeniu przez sześć dostajemy 3U − 36 + 2U + 12 + U = 0, czyli U = 4 V. Wyniki to I1 = −4 A, I2 = 10/3 A i I3 = 2/3 A. Węzeł się bilansuje, ponieważ −4 + 10/3 + 2/3 = 0. Mimo niezmienionych oporów zmieniły się wszystkie prądy. Nie można obliczyć każdej gałęzi niezależnie tak, jakby drugie źródło nie oddziaływało na wspólne węzły. Układ równań opisuje wzajemną zgodność całego obwodu po wprowadzonej zmianie.
Oporniki pobierają teraz łącznie 68 W: pierwszy 32 W, drugi 100/3 W, trzeci 8/3 W. Źródło dwunastowoltowe oddaje 48 W, a odwrócone sześciowoltowe 20 W. Suma mocy odbieranych i oddawanych ponownie wynosi zero. Ten wariant pokazuje różnicę między zmianą konwencji strzałki a fizyczną zmianą modelu. Odwrócenie samej definicji prądu nie zmienia pracy obwodu. Odwrócenie źródła w schemacie zmienia relacje napięć i prowadzi do nowego stanu. Tych dwóch operacji nie należy traktować jak równoważnych sposobów poprawienia niewygodnego znaku.
Prądy oczkowe są narzędziem rachunkowym
W metodzie oczkowej przypisuje się pomocniczy prąd każdemu wybranemu oczku płaskiego schematu. Jeśli dwa oczka współdzielą opornik, rzeczywisty prąd w tej gałęzi jest odpowiednią algebraiczną różnicą albo sumą prądów oczkowych, zależnie od przyjętych zwrotów. Nie są to dwa osobne fizyczne strumienie, które można niezależnie mierzyć w tym samym przewodzie. To sposób zapisania niewiadomych tak, aby bilanse węzłowe były automatycznie spełnione. Przed użyciem metody trzeba wyraźnie narysować zwroty pomocniczych obiegów i określić, jak wynikają z nich prądy poszczególnych gałęzi.
Rozważmy dwa oczka z prądami J1 i J2 skierowanymi zgodnie z ruchem wskazówek zegara. Wspólny opornik jest przez nie obchodzony w przeciwnych kierunkach, więc w zwrocie zgodnym z J1 jego prąd wynosi J1 − J2. Spadek na tym elemencie w pierwszym równaniu zawiera R(J1 − J2), a w drugim R(J2 − J1). Nie wolno wpisywać po prostu RJ1 i RJ2 tak, jakby każde oczko miało własny, niezależny egzemplarz wspólnego opornika. To jedna z najczęstszych pułapek przy przechodzeniu od rysunku do układu równań.
Po rozwiązaniu zawsze wracamy do pytania o wielkość fizyczną. Jeżeli polecenie dotyczy prądu we wspólnej gałęzi, odpowiedzią nie musi być samo J1. Trzeba obliczyć odpowiednią różnicę i opisać jej zwrot. W małych zadaniach metoda gałęziowa może być bardziej przejrzysta, nawet jeśli wymaga jednego równania więcej. Nie warto mieszać symboli obu metod bez wyjaśnienia. Dobry zapis odróżnia I oznaczające prąd konkretnej gałęzi od J jako pomocniczego prądu oczkowego. Jasność definicji pomaga również wtedy, gdy wynik ma sprawdzić inna osoba nieznająca wcześniejszego toku rozumowania.
Krótki rachunek oczkowy pokazuje różnicę prądów
Narysujmy dwa sąsiednie oczka ze wspólnym pionowym opornikiem 1 Ω. W zewnętrznej drodze lewego oczka znajdują się opornik 2 Ω i źródło 10 V, obchodzone od minusa do plusa przy ruchu zgodnym z zegarem. Zewnętrzna droga prawego oczka zawiera opornik 3 Ω i źródło 5 V, również dające wzrost przy obchodzeniu tego oczka zgodnie z zegarem. Odpowiada temu dodatni biegun pierwszego źródła u góry lewego boku i dodatni biegun drugiego u dołu prawego boku. Przyjmujemy oba pomocnicze prądy J1 i J2 zgodnie z zegarem. Wspólnym pionowym opornikiem J1 przechodzi w dół, a J2 w górę.
Równanie lewego oczka ma postać 10 − 2J1 − (J1 − J2) = 0. Prawe daje 5 − 3J2 − (J2 − J1) = 0. W przyjętych jednostkach otrzymujemy 3J1 − J2 = 10 oraz −J1 + 4J2 = 5. Z pierwszego wynika J2 = 3J1 − 10. Po podstawieniu do drugiego mamy 11J1 = 45, zatem J1 = 45/11 A, a J2 = 25/11 A. Obie wartości są dodatnie względem przyjętych obiegów. Nie oznacza to jednak, że wspólną gałęzią płynie ich suma. Kierunki w tej gałęzi są przeciwne.
Rzeczywisty prąd środkowego opornika wynosi J1 − J2 = 20/11 A i płynie w dół. W zewnętrznej lewej gałęzi natężenie wynosi 45/11 A, a w prawej 25/11 A. Moc trzech oporników to 2 × (45/11)² + 3 × (25/11)² + (20/11)², czyli 575/11 W. Źródła oddają łącznie 10 × 45/11 + 5 × 25/11 = 575/11 W. Bilans jest zgodny. Wartość można zaokrąglić do około 52,27 W, ale dopiero po sprawdzeniu dokładnych ułamków. Ten mały przykład pokazuje, dlaczego definicja prądu wspólnej gałęzi jest konieczna zarówno w odpowiedzi, jak i w kontroli mocy.
Liczba narysowanych pętli nie jest liczbą nowych informacji
W obwodzie z dwiema sąsiednimi pętlami można zapisać równania dla lewej, prawej i zewnętrznej drogi. Często trzecie jest sumą lub różnicą dwóch pozostałych. Nie wnosi wtedy niezależnego warunku. Dopisywanie takich samych informacji w innej postaci nie pozwoli wyznaczyć brakującej niewiadomej. Można to sprawdzić algebraicznie: jeśli odejmując dwa równania otrzymujemy dokładnie trzecie, jest zależne od nich. W zadaniu potrzebujemy odpowiedniej liczby niezależnych równań, a nie po prostu liczby wierszy równej liczbie symboli zapisanych na początku kartki.
Podobnie bilanse wszystkich węzłów po zsumowaniu często dają tożsamość. Prąd opuszczający jeden węzeł wpływa do innego, więc te same gałęzie pojawiają się z przeciwnymi znakami. Dla połączonej sieci z N węzłami wystarcza N − 1 niezależnych równań węzłowych. W opisie grafowym z B gałęziami liczba niezależnych pętli wynosi B − N + 1. To pomoc w planowaniu analizy przy ustalonym sposobie liczenia węzłów i gałęzi, nie zamiennik związków opisujących same elementy. Trzeba nadal uwzględnić ich parametry i właściwe założenia modelu.
Gdy solver zgłasza brak jednoznacznego rozwiązania, warto sprawdzić, czy równania rzeczywiście są niezależne i czy nie pominięto elementu. Nie każdy problem rozwiązuje dopisanie kolejnego obiegu. Można też przypadkiem zadać sprzeczne warunki idealnym źródłom. Algorytm nie poprawi za nas schematu, jeśli dane opisują niemożliwy układ idealny. W małym zadaniu rozsądnie jest najpierw wskazać, co opisuje każdy wiersz: konkretny węzeł, konkretną pętlę albo relację elementu. Ten opis pozwala zauważyć powtórzenia i brakujące informacje zanim rachunki staną się nieczytelne.
Zerowy prąd w gałęzi nie musi oznaczać przerwy
Wyobraźmy sobie dwa dzielniki napięcia podłączone do tego samego idealnego źródła dziewięciowoltowego. Lewy ma u góry opornik 100 Ω, u dołu 200 Ω. Prawy ma u góry 150 Ω, u dołu 300 Ω. Potencjał dolnego węzła przyjmujemy jako zero, górnego jako 9 V. Bez połączenia punktów środkowych prąd po lewej wynosi 0,03 A, po prawej 0,02 A. W obu punktach środkowych potencjał wynosi 6 V. Wynika to z podziału napięcia przy tym samym stosunku oporów, mimo różnych wartości całkowitych.
Jeżeli połączymy te środki dodatkowym idealnym opornikiem o skończonym dodatnim oporze, na przykład 470 Ω, w zrównoważonym modelu nie popłynie przez niego prąd. Jego końce mają ten sam potencjał. Nie oznacza to, że opornik jest uszkodzony, że przewód jest przerwany lub że nie należy go uwzględniać w schemacie. Zerowa różnica potencjałów i dodatni opór dają zerowe natężenie. Taki element może pozostawać pełnoprawną częścią obwodu, choć w konkretnych warunkach nie przenosi prądu. Inne parametry mogą zmienić ten stan.
Gdy zmienimy jeden z oporów dzielnika, nie wolno automatycznie zachować obu dawnych potencjałów środkowych po dodaniu połączenia. Obciążenie wzajemnie oddziałuje na gałęzie. Trzeba rozwiązać nowy układ, zamiast podstawić napięcia obliczone dla niepołączonych dzielników do pełnego obwodu i uznać problem za zakończony. Przykład zrównoważony jest szczególny właśnie dlatego, że prąd łączącej gałęzi wynosi zero. Dobrze rozumiana szczególna sytuacja ułatwia sprawdzenie ogólnych równań, ale nie daje prawa przenoszenia jej wyniku na każdy podobnie wyglądający schemat z innymi wartościami elementów.
Jednostki mogą wykryć pomyłkę przed obliczeniem wyniku
W równaniu pętli dodaje się napięcia, więc każdy składnik musi mieć jednostkę wolta. Iloczyn oporu i natężenia ją ma, natomiast sam opór nie. Zapis E − R − I = 0 nie staje się poprawny po wpisaniu odpowiednich liczb. W równaniu węzła wszystkie składniki są prądami. Nie można bezpośrednio dodać sześciu woltów do dwóch amperów. Jeśli po podstawieniu pojawia się niezgodność wymiarów, trzeba wrócić do równania fizycznego, a nie szukać jednostki, która przypadkiem pasuje do końcowego wyniku kalkulatora.
Przydatna para jednostek to kiloomy i miliampery: ich iloczyn daje wolty. Opornik 2 kΩ przy prądzie 3 mA ma spadek 6 V. Można konsekwentnie liczyć w tym zestawie, jeśli wszystkie gałęzie zapisano tak samo. Nie wolno jednak w jednym miejscu potraktować 2 jako omy, a w drugim jako kiloomy, nie zaznaczając zmiany. Najbezpieczniej na początku nauki przeliczać wszystko do jednostek podstawowych używanych w danym wzorze. Później wygodniejsze jednostki pomagają ograniczyć długie zapisy, o ile konwencja jest wyraźna i niezmienna.
Kontrola skali też jest użyteczna. Dwanaście woltów na oporze kilku kiloomów nie powinno dawać tysięcy amperów w prostym modelu pojedynczego opornika. Taki wynik sugeruje błąd przeliczenia albo odczytania danych. Nie jest to jednak ogólna zasada, że prąd zawsze musi być mały. W naszych abstrakcyjnych przykładach z oporami kilku omów otrzymujemy wartości amperowe. Rachunek nie ocenia, czy rzeczywisty element wytrzymałby daną moc. To kolejny powód, aby rozróżniać zadanie teoretyczne od projektu urządzenia i nie dobierać części na podstawie samych liczb bez dodatkowych warunków.
Zwarcie i przerwa oznaczają różne granice modelu
Idealna przerwa nie przewodzi prądu, ale napięcie między jej końcami nie musi wynosić zero. Idealny przewód ma zerową różnicę potencjałów, lecz może przewodzić niezerowy prąd ustalony przez resztę obwodu. Nie wolno stosować dzielenia U/R z zerowym mianownikiem, aby wyznaczyć prąd w każdym idealnym przewodzie. Potrzebne są bilanse całego układu i pozostałe elementy. Podobnie zerowy prąd nie jest automatycznym dowodem przerwy, co pokazuje przykład mostka z równymi potencjałami jego środkowych punktów w stanie równowagi.
Idealne źródło o niezerowym napięciu zwarte idealnym przewodem narzuca sprzeczne warunki: źródło wymaga różnicy potencjałów, przewód wymaga jej braku. Prosty model nie daje wtedy zwykłego skończonego prądu, który można sensownie odczytać z dzielenia przez zero. Rzeczywisty układ ma dodatkowe opory, ograniczenia i może być niebezpieczny. To opis granicy modelu, nie propozycja sprawdzania zwarcia w domu. W zadaniu należy ustalić, czy podano opór wewnętrzny albo inne ograniczenie, czy też schemat jest świadomym pytaniem o niemożność spełnienia idealnych założeń.
Dwa idealne źródła o różnych napięciach połączone bezpośrednio równolegle również mogą narzucać sprzeczne wartości tej samej różnicy potencjałów. Nie należy brać ich średniej bez uzasadnionego modelu. Jeśli są połączone przez opisane opory, można otrzymać określony prąd i wykonać bilans, tak jak w głównym przykładzie. Różnica między tymi schematami jest zasadnicza. Samo podobieństwo dwóch symboli baterii nie wystarcza do wyboru wzoru. Przed obliczeniami trzeba wiedzieć, jakie elementy ograniczają prądy i które potencjały są rzeczywiście związane warunkami idealnych źródeł.
Rozwiązanie warto kończyć czterema różnymi kontrolami
Pierwsza kontrola dotyczy rysunku: czy elementy pozostały między właściwymi węzłami i czy nie pojawiło się niezamierzone połączenie. Druga dotyczy prądów: czy bilans każdego istotnego węzła jest spełniony przy pierwotnych strzałkach. Trzecia porównuje napięcia obliczone różnymi drogami między tymi samymi punktami. Czwarta sprawdza bilans mocy, z rozróżnieniem oddawania i odbierania energii. Nie wszystkie muszą mieć tak samo długi zapis, ale każda odpowiada na inne pytanie i może wykryć błąd pominięty przez pozostałe podczas szybkiego oglądania wyniku.
W odpowiedzi słownej podajcie nie tylko liczbę, ale również element, jednostkę i kierunek. Zdanie I1 = −2 A jest pełne dopiero razem z definicją strzałki. Można dodać, że rzeczywisty przepływ pierwszej gałęzi ma natężenie dwóch amperów od B do A. Gdy pytanie dotyczy napięcia, trzeba określić kolejność punktów, na przykład VA − VB = 8 V. Bez niej dodatni znak może być niejednoznaczny. Czytelna końcowa odpowiedź nie powinna zmuszać odbiorcy do odtwarzania z całej kartki, co autor miał na myśli przez pojedynczy symbol.
Przy samodzielnej nauce dobrze zmieniać tylko jeden parametr i przewidywać, które relacje pozostaną prawdziwe. Można odwrócić biegunowość źródła, zwiększyć opór albo zmienić przyjętą strzałkę. Następnie sprawdza się, czy zmienił się fizyczny układ, czy wyłącznie zapis. Prawa Kirchhoffa stają się wtedy narzędziem rozumienia zależności, a nie zestawem znaków do odtworzenia z pamięci. Najważniejsze są jasne definicje, poprawny odczyt połączeń i konsekwentny bilans. Nawet rozbudowany obwód zaczyna się od tych samych prostych pytań o ładunek, potencjał oraz zgodność całego modelu.